Định nghĩa

Xét hai đa tạp Riemann R = ( M , g ) {\displaystyle R=(M,g)} và R ′ = ( M ′ , g ′ ) {\displaystyle R'=(M',g')} , và một phép vi phôi f : R → R ′ {\displaystyle f:R\to R'} . f {\displaystyle f} được gọi là một phép đẳng cự nếu

g = f ∗ g ′ , {\displaystyle g=f^{*}g',\,}

với f ∗ g ′ {\displaystyle f^{*}g'} là pull-back của g ′ {\displaystyle g'} bởi f {\displaystyle f} .

Tương đương, sử dụng push-forward f ∗ {\displaystyle f_{*}} ,ta có với mọi trường vectơ v , w {\displaystyle v,w} trên M {\displaystyle M} (tức là các nhát cắt của phân thớ tiếp tuyến T M {\displaystyle \mathrm {T} M} ),

g ( v , w ) = g ′ ( f ∗ v , f ∗ w ) . {\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).\,}

Nếu f {\displaystyle f} là một vi phôi địa phương sao cho g = f ∗ g ′ {\displaystyle g=f^{*}g'} , thì f {\displaystyle f} được gọi là một đẳng cự địa phương.